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第7章 学习互助

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周三下午的数学课,梧桐七中高二(7)班的教室里弥漫着一种微妙的紧张气氛。张老师抱着一摞试卷走进教室时,窗外的阳光正好被云层遮住,教室里的光线暗了几分。

“临时小测。”张老师把试卷放在讲台上,推了推眼镜,“四十五分钟,考察最近学的三角函数和平面向量综合应用。”

教室里响起一阵压抑的哀叹声。

“临时?”林骁在后排小声嘀咕,“这也太突然了……”

“上周说过要测验。”苏晓晓轻声提醒,“张老师说过的,你肯定没记笔记。”

试卷分发下来,纸张摩擦的声音在安静的教室里格外清晰。邵星接过试卷,快速浏览了一遍题目——前五题基础题,中间三题中等难度,最后两道压轴题……他的眉头皱了起来。

最后一道题题干很长,涉及三角函数、向量和几何的综合应用,还要求用至少两种方法证明。这明显是竞赛难度的拓展题。

教室里只剩下笔尖划过纸张的沙沙声。窗外的梧桐树在风中摇曳,光影在课桌上晃动,时间一分一秒流逝。

邵星做到倒数第二题时卡住了。这是一道关于向量共线条件的证明题,他尝试了两种思路,都在某个环节推导不下去。草稿纸上涂满了乱七八糟的算式,像一团纠缠的线。

他偷偷瞥了一眼旁边的江鸣朽。

江鸣朽已经做到了最后一道题。他的答题卡整洁得不可思议——字迹工整,步骤清晰,甚至没有涂改的痕迹。此刻他正看着最后一道压轴题,右手食指在桌面上轻轻敲击,节奏稳定得像钟摆。

邵星咬了咬嘴唇,继续埋头苦思。时间过去二十分钟,他的倒数第二题依然没有进展。额头渗出细密的汗珠,握笔的手指微微发抖。

就在这时,一张草稿纸从旁边推了过来。

邵星愣了一下,转头看去。江鸣朽依然专注地看着自己的试卷,仿佛那张纸不是他推的。但草稿纸上确实写着字——工整清晰的步骤,正是邵星卡住的那道题的完整解法。

更让邵星惊讶的是,江鸣朽写了三种解法。第一种是常规的向量坐标法,第二种是几何法,第三种……居然用到了复数。

邵星的心脏猛地跳了一下。他赶紧看向讲台,张老师正在低头看书,没有注意这边。他又看了看周围——前排的同学在埋头苦算,后排的林骁正抓耳挠腮,苏晓晓坐得笔直,认真答题。

他深吸一口气,开始研究草稿纸上的解法。江鸣朽的思路清晰得惊人,每一步都有简短的标注,解释为什么要这样转化。特别是第三种复数解法,邵星从未想过还可以这样处理向量问题。

按照第一种方法,邵星终于推导出了正确答案。他长长舒了口气,在答题卡上写下步骤。写完时,离交卷还有十分钟。

最后一道压轴题,邵星只来得及写了一半思路。交卷铃声响起时,他有些不甘心地放下笔。

“好了,停笔。”张老师站起身,“从后往前传。”

试卷收上去后,教室里响起一片哀嚎。

“最后一道题什么鬼啊!”

“我连题都没看懂……”

“张老师这也太难了吧!”

林骁瘫在椅子上:“完了完了,这次肯定不及格。星星,你最后那道题做出来没?”

邵星苦笑:“做了一半,后面来不及了。”

“那也比我们强。”林骁转头看向江鸣朽,“江同学,你应该全做出来了吧?我看你写得特别快。”

江鸣朽正在整理文具,闻言抬起头:“还行。”

“肯定不只是还行。”林骁来了兴趣,“最后那道题,你用了几种方法?张老师要求至少两种。”

江鸣朽沉默了几秒:“三种。”

教室里突然安静下来。周围几个同学都转过头,惊讶地看着江鸣朽。最后一道题的难度大家有目共睹,能做出来一种方法已经不容易,三种?这简直超出认知范围。

“三种?”一个声音从教室后排传来。

陈默走了过来。这个总是坐在角落里的物理竞赛生,此刻推了推眼镜,眼神里闪着兴奋的光:“你用了复数法?”

江鸣朽点点头。

“我就知道!”陈默的语气难得地激动,“看到题目的瞬间我就想到可以用复数处理,但时间不够,只写完了一种方法。另外两种是什么?”

“向量投影和几何变换。”江鸣朽说。

“几何变换?”陈默眼睛更亮了,“是仿射变换还是……”

“相似变换。”江鸣朽从书包里拿出另一张草稿纸——刚才推给邵星的那张已经收起来了,这张是全新的,“在这。”

陈默接过草稿纸,看得极其专注。他的嘴唇无声地动着,手指在空气中比划,像是在脑中重现整个推导过程。过了大约一分钟,他抬起头,镜片后的眼睛里满是赞叹:

“太巧妙了!用相似变换把一般三角形化为等边三角形,这样就完全避开了复杂的角度计算。这个思路……我从未想过。”

“其实是从一道物理题里得到的启发。”江鸣朽的声音依然平静,“力学问题里经常用类似的方法简化模型。”

“物理题?”陈默更加兴奋了,“哪道题?是竞赛题吗?我能看看吗?”

“是以前做过的一道题。”江鸣朽说,“笔记本里有记录,明天可以带给你看。”

“太好了!”陈默像是得到了什么珍宝,“谢谢!”

这一幕被全班同学看在眼里。陈默在7班是出了名的“物理狂人”,除了物理几乎对什么都不感兴趣,也很少主动和人交流。现在他居然对江鸣朽表现出这样的热情,足以说明江鸣朽的水平。

苏晓晓走过来,笑容温柔:“看来我们班又多了个学霸。江鸣朽,陈默,下次班会我想请你们做个学习经验分享,可以吗?”

陈默看向江鸣朽,江鸣朽点点头:“可以。”

“那太好了。”苏晓晓说,“具体时间我晚点跟你们商量。”

课间休息时,邵星小声对江鸣朽说:“谢谢你刚才的草稿纸。要不是你,我那道题肯定做不出来。”

“没事。”江鸣朽说,“那道题的关键在于把向量条件转化为几何关系。你卡住的地方,是因为想直接计算,没有先分析结构。”

“分析结构?”

“嗯。”江鸣朽拿起笔,在草稿纸上画了个简单的图,“你看,题目给的条件其实暗示了这三个点共圆。如果能先看出这一点,后面就简单了。”

他一边画一边讲解,声音平静清晰。阳光从窗户照进来,在他侧脸上投下柔和的光影,那颗泪痣在光线下像一颗温柔的星。

邵星认真听着,忽然觉得那些复杂的数学题也没那么可怕了。原来解题就像探案,要先找到线索,再顺藤摸瓜。

“江鸣朽,”邵星忍不住问,“你怎么能想到这么多方法?我连一种都费劲。”

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